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在数学的范畴中，群（Group）是现代代数学的根本概念之一。最早由法国数学家伽罗华提出。

群的概念

群是如下一个代数结构：它是任意元素组成的的一个集合 S，对于给定的运算法则，我们记作·（下面有的地方我们简略不写）∀a,b∈S ，

1. a·b∈S;
2. ∀c∈S,(ab)c=a(bc)；
3. S中至少存在一个单位元素 e,具有如下性质：ea=a(∀a∈S)
4. 对于∀a∈S,S中至少存在一个逆元a^-1,使得：aa^-1=e

这样一个集合S称之为群。若除了以上几点外还有ab=ba,那么这个群称之为阿贝尔群(Abel group)。

群的例子

• 对称群
• 循环群
• 交换群
• 著名的Galois群

子群

1. 概念：设G是一个群，若S是G的一个非空子集且同时S是一个群，则S称为G的一个子群。
2. 正规子群
   1. 陪集：设S为G的一个子群，a是G里的一个元素，那么子集aS称为S在G中的一个左陪集（这里aS的意思是aS={ah|∀h∈S}）。
   2. 若子群S的陪集连同S组成了一个群（称作S对G的商群，记作G/S），则S称为G的一个正规子群，事实上，此时S相当于单位元素。
   3. 关于正规子群更详细地说明见群的同构与同态。

与近世代数相关主题

代数系统 | 群 | 半群 | 环 | 整环 | 体(除环) | 多项式环 | 域 | 伽罗瓦域 | 本原元 | 格

同态 | 同构 | 商结构(商系统)